Management Industriel - 1. Gestion des Stocks

Définition

Notion de réservoir :

Différence d'écoulement entre un flux entrant (interne/externe) et un flux sortant (interne/externe)
Enchaînement en cascade en interne

Vision dynamique :

Ex ante : évolution du stock jusqu'à présent
Ex post : projection du stock sur des événements à venir (E/S)

Passage d'état :
$S (t) = S (t - 1) + entrées - sorties$
Le stock d'un instant t = le stock de t-1 + les entrées - les sorties

On entend souvent la notion de rupture, j'imagine que c'est la rupture entre l'attente du client et ce qui est produit.
On ne va pas tout quantifier, exemple avec les boulons d'un technicien, il ne va pas comptabiliser tous les boulons qu'il utilise. À la place, on peut avoir un stock de 2 cartons de boulons, dès qu'un carton est fini, on en commande un.

Pourquoi on fait des stocks ?

Contraintes de lot :

En production (temps de chargement de série, contraintes techniques de conditionnement...)
Amont/Aval (coûts de transport)
Négociation commerciale (rabais sur la quantité...)

Incertitude externe :

Fiabilité demande aval (fond de rayon, promotions...) et amont (fournisseur)
Non synchronisation prod/dem (saisonnalité amont et aval, rendements...)

Incertitude interne :

Fiabilité et capabilité machines (capabilité = ça marche plus ou moins bien selon les jours)
Fiabilité et capabilité RH
Éloignement machines

Raisons diverses :

Le culturel
Le spéculatif/l'événement incontrôlable (géostratégique, épidémie...)

Enjeux des stocks

Objectifs contradictoires :

Ventes, interfaces clients 📈
- Le commercial aime le stock, pour lui c'est un rempart contre la rupture
Prod, approvisionnement, logistique 📈/📉
Achats 📈/📉
Finances 📉

Impact financier :
Coût de possession, coûts d'acquisition, obsolescence...

Système de décision :

Quand approvisionner ?
- À intervalles réguliers T : Gestion calandaire (par la date, on commande périodiquement)
- Suivant un niveau de Stock : Gestion à point de commande (on commande lorsqu'on passe sous un seuil)
De combien approvisionner ?
- à quantité fixe q : Quantité économique de commande (toujours la même quantité fixe)
- à un niveau prédéfini S : Niveau de recomplètement
Quel niveau avoir en magasin ?

Prise en compte des résultats de la commande

Demande presque certaine (régulière)
Demande aléatoire (modèle stochastique)

Combien/Quand	Fixe	NdR (Niveau de recomplètement)
Fixe	Calandaire à QEC	à PdC QEC
Variable	Calandaire à NdR	à PdC à NdR

Mesures du stock

Durée d'écoulement : temps nécessaire pour vider le stock avec un flux entrants nul

Stock moyen (sur une période $T = 1, \dots, n$ )

S_{T} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{S_{i - 1} + S_{i}}{2}

Taux de rotation (Tri)

Tri = \frac{vente annualisée article}{stock moyen article}

Taux de couverture (Tci)

$Tci = \frac{12}{Tri}$

Exemple : vente annuelle = 4800 u; stock moyen = 400 u.

Analyse ABC

Méthode de classification des articles suivant un critère qui utilise la loi de Pareto.

Détermination du critère d'étude
Classification des articles par valeur décroissante
...

Ça nous permet d'avoir 3 classes différentes A, B et C selon l'importance du produit.

Exemple 1 d'analyse ABC

Produit	Consommation	Prix Unitaire
P1	3000	20
P2	20000	150
P3	5000	70
P4	4000	199
P5	500	178
P6	15000	73
P7	10000	37
P8	1500	33
P9	8000	2
P10	1000	198

Critère : Analyse du stock sur la consommation physique.

Produit	Consommation	Cumul conso	Importance
P2	20000	20000	29%
P6	15000	35000	51%
P7	10000	45000	66%
P9	8000	53000	78%
P3	5000	58000	85%
P4	4000	62000	91%
P1	3000	65000	96%
P8	1500	66500	98%
P10	1000	67500	99%
P5	500	68000	100%
Mais si on ajoute la variable du prix :

Produit	Consommation	Prix	CA
P2	20000	150	3000000
P6	15000	73	1095000
P4	4000	199	796000
P7	10000	37	370000
P3	5000	70	350000
P10	1000	198	198000
P5	500	178	89000
P1	3000	20	60000
P8	1500	33	49500
P9	8000	2	16000

Modèle mathématique de gestion des stocks

La variables du modèle :

$Q_{p}$ : Stock moyen possédé par période avec coût unitaire $c_{p}$
$Q_{r}$ : Rupture moyenne par période avec coût unitaire $c_{r}$
$Q_{c}$ : nb moyen de commandes par période avec coût unitaire $c_{c}$
$Q_{a}$ : quantité achetée

Objectif de minimisation du coût global :

c = c_{p} Q_{p} + c_{c} Q_{c} + c_{a} Q_{a} + c_{r} Q_{r}

Caractéristiques des coûts :

$c_{p}$ : coût de détention (notion d'immobilisation financière), coût de stockage
$c_{r}$ : vente manquée, reportée
$c_{c}$ : interne (coût de lancement du lot), externe (service achat + réception)
$c_{a}$ : prix d'achat unitaire

Quantité économique de commande (demande déterministe)

Caractéristiques :

Sur une période de référence (année), la demande peut être considérée comme certaine et uniformément répartie.
Intervalles de livraison réguliers
Délai de réapprovisionnement certains (pas de stock de sécurité)
Livraison instantanée

Paramètres discriminants de la fonction de coût annuel :

C (Q_{e}) = c_{p} Q_{p} (Q_{e}) + c_{c} Q_{c} (Q_{e}) + c_{a} Q_{a} (Q_{e}) + c_{r} Q_{r} (Q_{e})

Exemple

Une entreprise connaît son besoin en emballage pour toute l'année à venir : 620 unités
Le coût d'achat par unité est de 30€ et on considère un taux de possession de 10% du prix d'achat unitaire
Le coût d'une commande est indépendant de la quantité commandée et est égal à 25€
Il n'y a aucune incertitude sur la livraison

Calculer le coût de gestion de chaque politique suivante :

620 unités commandées/commande
124 unités commandées/commande
62 unités commandées/commande

Qc	Posses	Cond	Total
$620$	$3 \times 310$	$25 \times 1$	$955$
$124$	$3 \times 62$	$25 \times 5$	$311$
$62$	$3 \times 31$	$25 \times 10$	$343$
$Q_{e}$	$3 \times \frac{Q_{e}}{2}$	$25 \times \frac{620}{Q_{e}}$
Le 3 est le D : le coût de possession en gros $30 € \times 10 %$

C (Q_{e}) = c_{p} \frac{Q_{e}}{2} + c_{c} \frac{D}{Q_{e}}

---
xLabel: Taille du lot
yLabel: Coûts
bounds: [0, 5, 0, 5]
disbaleZoom: 1
grid: true
---
f(x)=x/2
g(x)=1/x
h(x)=x/2+1/x

L'intersection est le lot idéal. On peut le calculer plus facilement avec la Formule de Wilson.

Coût moyen annuel :

C (Q_{e}) = c_{p} Q_{p} (Q_{e}) + c_{c} Q_{c} (Q_{e}) + c_{a} D

Formule de Wilson

Wilson marche pour date fixe, quantité fixe
La formule de Wilson permet de minimiser le coût total dans la gestion des stocks.

$D$ : demande annuelle

Minimisation du coût total :

C (Q_{e}) = c_{p} \frac{Q_{e}}{2} + c_{c} \frac{D}{Q_{e}} (+ c_{a} D)

Les variables avec une étoile sont les variables optimales.
Quantité économique de Wilson : (C'est la valeur optimale)

Q_{e}^{*} = \sqrt{\frac{2 c_{c} D}{c_{p}}}

Intervalle de réapprovisionnement et nb de commandes :

T^{*} = \frac{Q_{e}^{*}}{D} = \sqrt{\frac{2 c_{c}}{c_{p} D}} N^{*} = \frac{D}{Q_{e}^{*}}

Coût total minimum :

C^{*} (Q_{e}^{*}) = c_{p} \frac{Q_{e}^{*}}{2} + c_{c} \frac{D}{Q_{e}^{*}} + c_{a} D = c_{p} Q_{e}^{*} + c_{a} D = \sqrt{2 c_{p} c_{c} D} + c_{a} D

$c_{p} =$ coût de possession = coût de l'achat + coût de stockage
$c_{c} =$ coût de commande, c'est ce que ça coûte de FAIRE la commande, pas le prix de la commande en elle-même.
Il faut savoir faire les calculs.

Exemples

Si on reprend notre exemple de tout à l'heure :

Q_{e}^{*} = \sqrt{\frac{2 \times 25 \times 620}{3}} \approx 101 unités

N^{*} = \frac{620}{101} \approx 6, 1 commandes/an

C^{*} = 3 \times \frac{101}{2} + 25 \times \frac{620}{101} (+ 30 \times 620) \approx 304 €

Autre Exemple :

Produit acheté au prix unitaire : 15€ $= c_{a}$
Consommation annuelle : 47 000 unités
Coût d'une commande : 200€ $= c_{c}$
Taux de détention : 12%

Déterminer la politique optimale (quantité, période, coût)
$c_{p} = 15 € \times 12 % = 1, 8$
Quantité :

Q_{e}^{*} = \sqrt{\frac{2 \times 200 \times 47000}{0, 12 \times 15}} \approx 3232

Période :

N^{*} = \frac{47000}{3232} \approx 14, 5

Coût :

C^{*} = 1, 8 \times \frac{3232}{2} + 200 \times \frac{47000}{3232} + 15 \times 47000 \approx 5817 €

Si le lot est de 20, recalculer les optimum
On divise la quantité par 20 et on multiplie le prix par 20

Q_{e}^{*} = \sqrt{\frac{2 \times 200 \times \frac{47000}{20}}{0, 12 \times \frac{15}{20}}} \approx 3232

Le résultat est le même car les divisions par 20 s'annulent.
Si on veut faire des paquets de 20, au lieu de prendre 3232, on prend un multiple de 20 proche, en l'occurence ici : 3220

C^{*} = 1, 8 \times \frac{3220}{2} + 200 \times \frac{47000}{3220} + 15 \times 47000 \approx 5817 €

Le résultat est très proche.

Analyse de sensibilité

Notion de stock de sécurité

Produit avec conso fixe et certaine de 10 unité par jour.
Délai de livraison 5 jours.

À quel niveau de stock on lance la commande ?

50

Après analyse de la demande, il s'avère que la consommation en moyenne de 10 unités peut descendre à 7 et monter à 12 unités par jour.
Quel est le nouveau point de point de commande ?

60

Ce qui est au dessus de 50, c'est le stock de sécurité.
Le stock de sécurité c'est la manière de se protéger et d'éviter la rupture au maximum. On ne peut jamais l'éviter complètement.

Exemple Stock Sécu

On a un produit vendu par multiple de 25.
Réapprovisionné chaque semaine et conso hebdo de 100.

25	50	75	100	125	150	175	200
0,02	0,03	0,2	0,25	0,25	0,2	0,03	0,02

Le taux de service si $S s = 50$ est de 95%.

## Prendre en compte les aléas Propriétés statistiques quand la demande est aléatoire et donc représentée avec une moyenne $\mu$ et un écart type $\sigma$.

Calcul moyenne :

μ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

Calcul écart type :
Avec peu de données :

σ = \frac{1}{4} (max {(X_{i} - μ; 0)^{+}} + max {(μ - X_{i}; 0)^{+}})

Avec beaucoup de données :

σ = \frac{1}{\sqrt{n}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - μ)^{2}}

Loi Normale :
On utilise la Fonction de la répartition de la loi normale réduite

$P r (X < μ + 0 σ) = 50 %$
$P r (X < μ + 1 σ) = 84, 1 %$
$P r (X < μ + 2 σ) = 97, 8 %$
$P r (X < μ + 3 σ) = 99 %$

$P r (X < μ + k σ) = valeur constante$
Dans ces calculs, on remarque que :
$S s = k \times σ$ : le stock de sécurité
$valeur constante =$ Taux de service
Donc plus $k$ est haut, plus la valeur constante serait faible.
$μ =$ quantité moyenne consommée/vendue pendant le délai de livraison

F_{Z} (k) \overset{def}{=} P (Z \leq k) = P

Exemple

Mois	Consommation
Janvier	84
Février	94
Mars	103
Avril	125
Mai	142
Juin	106
Juillet	90
Aout	116
Septembre	70
Octobre	97
Novembre	63
Décembre	110

$μ = \frac{1}{12} (84 + 94 + 103 + 125 + 142 + 106 + 90 + 116 + 70 + 97 + 63 + 110) = 100$
$σ = \frac{1}{4} ((100 - 63) + (142 - 100)) = 19, 75$

σ = \frac{1}{\sqrt{12}} \sqrt{(84 - 100)^{2} + (94 - 100)^{2} + (103 - 100)^{2} + (125 - 100)^{2} + (142 - 100)^{2} + (106 - 100)^{2} + (90 - 100)^{2} + (116 - 100)^{2} + (70 - 100)^{2} + (97 - 100)^{2} + (63 - 100)^{2} + (110 - 100)^{2}} = 21, 3307290077

On veut un taux de service de 97% :
On trouve sur le tableau de la loi Normale 1,89 pour ~97%.
$P r (X < 100 + 1, 89 * 21) = 139, 69$
On a un stock de $100 + 39, 69 \approx 140$

Modèle à quantité fixe et date variable

On commande une quantité fixe (QEC) quand le stock atteint le niveau minimum "point de commande".

S = μ \times l + k \times \sqrt{l} \times σ

$S =$ stock
Demande par unité de de temps : $N (μ, σ)$
Délai de livraison/fabrication : $l$
Demande durant le délai $l$ : $N (l \times μ; \sqrt{l} \times σ)$
$S s = k \times \sqrt{l} \times σ$ : Stock de sécurité

Exemple

Le service d'entretien d'un hôtel utilise environ 400 mini savons par jour.
La distribution en fait suit une loi normale avec un écart-type de 9 savons par jour.
L'entreprise qui livre les savons est en mesure de livrer en 3 jours.

$S = 400 \times 3 + k \times \sqrt{3} \times 9$
Déterminer stock de sécurité pour un risque de pénurie de 2%.
Pour un risque de pénurie de 2%, on trouve $k = 2, 06$
$S s = 2, 06 \times \sqrt{3} \times 9 \approx 32$

En déduire le point de commande.
$S = 400 \times 3 + 2, 06 \times \sqrt{3} \times 9 = 1 232, 1122219723$

Modèle à quantité variable et date fixe

On commande à une date fixe une quantité ramenant le stock à un niveau appelé "recomplètement".

N R = μ \times (i + l) + k \times \sqrt{i + l} \times σ

S s = k \times \sqrt{i + l} \times σ

Q C = N R - S (t)

$N R$ : Niveau de Recomplètement
$Q C$ : Quantité Commandée
$S (t)$ : Stock au moment de la commande

Exemple

Tous les 30 jours, un labo commande une quantité de produits chimiques.
Délai d'appro de 5 jours.
La conso quotidienne est en moyenne de 15,2ml avec un écart type de 1,6ml par jour.
Le niveau de service désiré est de 95%
Le stock est de 9 contenants de 25ml.

Combien il faut commander de produit ce mois-ci ?
Pour un taux de service de 95%, on trouve 1,65
$N R = 15, 2 * (30 + 5) + 1, 65 * \sqrt{30 + 5} * 1, 6 = 547, 6184506274$
$Q C = (15, 2 \times (30 + 5) + 1, 65 \times \sqrt{30 + 5} \times 1, 6) - (9 \times 25) = 322, 6184506274$
Mais on a des tubes de 25ml donc :
$\frac{547, 6184506274}{25} = 21, 9047380251 \approx 22$
$\frac{322, 6184506274}{25} = 12, 9047380251 \approx 13$
$S s = 1, 65 * \sqrt{30 + 5} * 1, 6 = 15, 6184506274$